Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen 4 by I.S. Fenyö, Stolle

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Wir addieren jetzt die (l 1)-te Zeile der letzten Determinante zur ersten Zeile und erhalten + J ,(u, t; ,,) du " b K,aL a 1 = -- IK If Kiki A K il A ik . (n) (12) Wir wollen jetzt unter dem Integral in (12) den Ersatzkern K'(8, u) erzeugen. Zu diesem Zweck bilden wir unter Ausnutzung der Additionsregel für Determinanten in einem zweiten Schritt für beliebiges m = 1,2, ... , n J' b "L 1=1 n -Dirn D D n K'u L (u, t; ,,) du = a 1 -- A L -.!!!!. :- '" Im D 1=1 für m =1= k, 1 f""ur m- k m" benutzt.

2 da dt. 0 0 AIs Folge von Satz 1 ergibt sich eine bequeme Näherungsmethode zur Lösung der Integralgleichung (A~ X) x = - I, (A) falls die Schmidtschen Eigenwerte und Eigenfunktionen von K(8, t) bekannt sind (X ist durch (1) definiert). Unter Benutzung des Kernes (5) hat die Näherungsgleichung das Aussehen E ""X,,(8) Jy,,(t) x(n)(t) dt + I(s). n JlX(II)(s) = "=1 1 (19) 0 x(n)(s) ist die n-te Näherung der Lösung X(8) von (A). Unter Benutzung der Fourierkoeffizienten C" = JX(II)(t) y/;(t) dt 1 o der Funktion xn(s) bezüglich des Orthonormalsystems {y,,(s)} folgt mit den Ab- 42 17.

Wir addieren jetzt die (l 1)-te Zeile der letzten Determinante zur ersten Zeile und erhalten + J ,(u, t; ,,) du " b K,aL a 1 = -- IK If Kiki A K il A ik . (n) (12) Wir wollen jetzt unter dem Integral in (12) den Ersatzkern K'(8, u) erzeugen. Zu diesem Zweck bilden wir unter Ausnutzung der Additionsregel für Determinanten in einem zweiten Schritt für beliebiges m = 1,2, ... , n J' b "L 1=1 n -Dirn D D n K'u L (u, t; ,,) du = a 1 -- A L -.!!!!. :- '" Im D 1=1 für m =1= k, 1 f""ur m- k m" benutzt.

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