Theorie der reellen Funktionen by Hans Hahn

By Hans Hahn

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I I an' -all" 1<13 <2 13 f"ur > no' 11" => 110' 11 , = für n'>no' n">n o: dies aber ist die Bedingung von Satz IX. Wir definieren noch die Hauptlimiten von k-fach unendlichen Folgen, und zwar in Anlehnung an die charakteristischen Eigenschaften (*), (**) S. 38 der Hauptlimiten von Folgen {alt}' Sei {a",. n•. • nk} eine k-fach unendliche Folge. Wir nehmen einen Schnitt m1 m2 in der Menge der reellen Zahlen vor, indem wir in m1 alle Zahlen z aufnehmen, zu denen es Indizes n~, n~, ... , 1I~ gibt, derart daß: + alt" ........

N•. • nk} eine k-fach unendliche Folge. Wir nehmen einen Schnitt m1 m2 in der Menge der reellen Zahlen vor, indem wir in m1 alle Zahlen z aufnehmen, zu denen es Indizes n~, n~, ... , 1I~ gibt, derart daß: + alt" ........ "k >z für 111 > n~, 1I\l > n~, ... , lI k > n~ . Die diesen Schnitt hervorrufende Zahl (§ 5, Satz III) bezeichnen wir mit: Einleitung. § 6. Häufungswerte reeller Zahlen. an" lim "2' ... , 43 "k . Nehmen wir hingegen in W2 alle z auf, zu denen es Indizes n~', gibt, so daß: ... , so bezeichnen wir die den Schnitt W1 +- W 2 n~, hervorrufende Zahl mit: In Analogie zu Satz VIII gilt dann: Satz XI.

K ihre Teilsummen. § 6. Häufnngswerte reeller Zahlen. Die Zahl a heißt ein Häufungswert der Zahlenmenge m, wenn es in meinen abzählbaren Teil a1 , a2 , ••• , an' ... gibt, so daß: liman=a, sie heißt ein Häufungswert der Zahlenfolge 2) {a,,}, {a,,} eine Teilfolge {a,,) gibt, so daß: wenn es in lima =a. "=00 Uv Aus dieser Definition folgt sofort, daß jeder Häufungswert eines Teiles von m (einer Teilfolge von {an}) auch Häufungswert von m (von {a,,}) ist. Satz I. Damit a Häufungswert von m (von {an}) sei, ist notwendig und hinreichend, daß, sei es zu jedem Intervalle 1) Dies weicht von der üblichen Terminologie in derselben Weise ab, wie für die Zahlenfolgen.

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