Esercizi di Meccanica Razionale A by Franceschini V.

By Franceschini V.

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Si tratta di un problema di meccanica relativa. Assumiamo come sistema di riferimento relativo la terna destra Ox1 y1 z1 con Ox1 coincidente con la retta a cui `e vincolato il punto e l’asse Oz1 coincidente con (O, k). Essendo il vincolo liscio, la relativa reazione vincolare ha vettore Φ = Φy j 1 + Φz k 1 . Studio dell’equilibrio L’equazione dell’equilibrio relativo per un punto `e F + Φ ¡ maτ = 0 . 217 Poich´e nel nostro caso il sistema relativo ruota uniformemente attorno all’asse z1 con velocit`a angolare scalare ω0 , la forza di trascinamento coincide con la forza centrifuga.

Se se ne vuole trovare l’espressione cartesiana rispetto al sistema assoluto, occorre esprimere i versori i1 e j 1 tramite i versori i e j. Occorre cio`e sostituire ad i1 e j 1 le espressioni seguenti: i1 = cos θi + sin θj j 1 = ¡ sin θi + cos θj . Questo semplice esercizio viene lasciato allo studente, al quale si consiglia anche di controllare il risultato riottenendo v(P ) e a(P ) per via assoluta, cio`e mediante derivazione diretta del vettore spostamento di P, ossia P ¡ O = x1 (cos θi + sin θj) .

L’integrale generale dell’equazione differenziale `e x(t) = C1 cos(ωt + γ1 ) ¡ a . ω2 Imponendo le condizioni iniziali si ha il sistema   C1 cos γ1 ¡ a = x0 ω2  ¡ C ω sin γ = v , 1 1 0 che, tenendo conto dell’ipotesi x0 > 0, fornisce C1 = x0 + a ω2 2 + v0 ω 2 , 209 γ1 = arctan ¡ωv0 . a + ω2 x0 Osservato che C1 > x0 + ωa2 e che, essendo sin γ1 < 0, γ1 2 ¡ π2 , 0 , andiamo a calcolare l’istante τ1 in corrispondenza al quale si ha il primo arresto di P . Avendosi x(t) ˙ = ¡C1 ω sin(ωt + γ1 ) = 0 per ωt + γ1 = kπ , k = 0, §1, §2, .

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