Lezioni di metodi matematici per la fisica by Iacopo Borsi

By Iacopo Borsi

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Confronto fra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue La maggior generalità dell’integrale di Lebesgue si intuisce già dalla definizione stessa. 6) che sono definite su insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo Jordan. Altrettanto intuitiva è la proprietà che ogni funzione integrabile secondo Riemann è sommabile anche secondo Lebesgue. Questi fatti possono essere riassunti elegantemente nella seguente catena di inclusioni E el φdx : φ ∈ S− (f ) ≤ sup E φdx : φ ∈ S− (f ) E ψdx : ψ ∈ S+ (f ) ≤ inf E el ψdx : ψ ∈ S+ (f ) , sup inf ≤ dalla quale si deducono le affermazioni sopra esposte (lo si faccia per esercizio).

Diamo di seguito le definizioni relative al concetto di ortogonalità che sarà indicato sempre con il simbolo ⊥ • • • • • ∀h1 , h2 ∈ H si ha h1 ⊥h2 (cioè si dicono ortogonali) se (h1 , h2 ) = 0. Dato H ′ ⊂ H e h ∈ H, si dice h⊥H ′ se h⊥h1 per ogni h1 ∈ H ′ . Dati H ′ , H ′′ ⊂ H, diremo H ′ ⊥H ′′ se h1 ⊥h2 per ogni h1 ∈ H ′ , h2 ∈ H ′′ . h ∈ H si dice normalizzato se h = 1. 1. ). 2. 9). Allora, se h ∈ H con h ⊥ H1 si ha h = 0. Infatti, essendo H1 denso in H, se h ∈ H esisterà una successione {hk } ∈ H1 tale che hk → h.

Su Q ⊂ R. o. se lim fk (x) = f (x) k per quasi ogni x ∈ Q. 3. o. 4. Se f è misurabile, limitata e nulla fuori da un compatto K, allora essa è sommabile su K. Enunciamo adesso tre risultati fondamentali (Teorema di Lebesgue, Lemma di Fatou e Teorema di Beppo-Levi) che forniscono informazioni sul passaggio al limite sotto il segno di integrale. 5. (di Lebesgue) Sia {fk } in Q ⊂ R. o. o. ed inoltre il limite f è sommabile, con f dx = lim k Q fk dx. 6. 1) è valida solo se siamo in presenza di una convergenza uniforme delle fk .

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