Intégrale de chemin en mécanique quantique : introduction by Jean Zinn-Justin

By Jean Zinn-Justin

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Notant |p) les vecteurs dans la base dans laquelle 1'operateur impulsion p est diagonal, nous definissons la transformee de Fourier par Les elements de matrice de 1'operateur identite dans cette base sont alors En consequence, dans un produit d'operateurs en representation d'impulsion la mesure d'integration est ddp/(2irfi)d : Par ailleurs, de cette normalisation decoule pour les fonctions d'onde ^(q) = (q|^> = Hamiltonien libre. 2) en utilisant la representation mixte impulsion-position : La solution est 36 Integrate de chemin en mecanique quantique Inversant la transformee de Fourier, on en deduit Ce resultat met clairement en evidence la propriete de localite : quand t — t'-+ 0 le domaine ou (q| £/"(£, £')|q') n'est pas negligeable se reduit a |q — q'| = O(Vt^t').

Introduisant la matrice unitaire nous en deduisons la contrainte Nous multiplions le membre de droite de la deuxieme equation par le membre de droite de la premiere (dans cet ordre). Nous trouvons 1. Quelques preliminaries mathematiques 25 La derniere forme de 1'equation en termes des composantes s'ecrit (sans sommation sur les indices), et done Supposons d'abord que toutes les valeurs propres de D sont simples. 56) dans le sous-espace correspondant, la matrice M est proportionnelle a une matrice unitaire symetrique.

Mais les resultats se simplifient notablement si nous calculons directement les cumulants de la distribution. Pour cela, il est commode de definir d'abord une fonction generatrice des valeurs moyennes (x^x^ ... xip)x. 1. Quelques preliminaries mathematiques 11 FlG. 2 — Contributions d'ordre A 2 a la fonction a deux points. 2 Fonctions generatrices. 1) est la fonction generatrice des valeurs moyennes Introduisons maintenant la fonction Dans 1'interpretation probabiliste, W(b, A) est la fonction generatrice des cumulants de la distribution.

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