Conjectured inequalities for Jacobi polynomials and their by Gautschi W., Leopardi P.

By Gautschi W., Leopardi P.

P. Leopardi and the writer lately investigated, between different issues, the validity of the inequality n\theta_n^{(\alpha,\beta)}\!<\! (n\!+\!1)\theta_{n+1}^{(\alpha,\beta)} among the biggest 0 x_n\!=\!\cos\theta_n^{(\alpha,\beta)} and x_{n+1}= \cos\theta_{n+1}^{(\alpha,\beta)} of the Jacobi polynomial P_n^{(\alpha,\beta)}(x) resp. P_{n+1}^{( \alpha,\beta)}(x), α > − 1, β > − 1. The area within the parameter area (α, β) within which the inequality holds for all n ≥ 1, conjectured through us, is proven the following to require a small adjustment—the deletion of a truly slender lens-shaped area within the sq. { − 1 < α < − 1/2,  − 1/2 < β < 0}.

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4. Falsche Negierung von Aussagen ohne deMorgans Regeln zu benutzen: ^{AW B) und ^A V - i 5 sind nicht aquivalent! Das Gleiche gilt fiir Mengenoperationen: so ist z. B. AUB = ]4 n ^ , nicht aber AU B = A U ^ . 5. Falsche Negierung von Aussagen mit Quantoren. Man will zum Beispiel die Aussage A = »1 ist die grofite reelle Zahl« mit dem folgendem »Argument« beweisen. Angenommen, es gibt eine andere grofite Zahl y. Es ist nun 1 < y, also ist y insbesondere eine positive Zahl, d. h. wir konnen die Ungleichung mit y multiplizieren und erhalten y < y'^.

Angenommen, es gibt eine andere grofite Zahl y. Es ist nun 1 < y, also ist y insbesondere eine positive Zahl, d. h. wir konnen die Ungleichung mit y multiplizieren und erhalten y < y'^. Das ist aber ein Widerspruch zu der Annahme, dass y die grofite reelle Zahl ist, also folgt die Behauptung und somit ist 1 die grofite reelle Zahl. Wo liegt der Fehler? In der Negation der Behauptung Al Die richtige Negation ^A miisste lauten: 1 ist nicht die grofite reelle Zahl. 6. Falsche Beschreibung einer Existenzaussage als 3x{A{x) -^ P{^)) anstatt 3x{A{x) A B{x)).

5: Diese beiden binaren Baume haben | 5 | = 4 Blatter; der erste Baum hat die Tiefe 3 = | 5 | — 1, wahrend der zweite die Tiefe 2 = log2 \B\ hat. Beweis: Wir fiihren den Beweis mittels Induktion iiber die Tiefe t = t{B). Basis t = 0: In diesem Fall besteht B nur aus einem Knoten. Dieser Knoten ist ein Blatt, es gilt also \B\ = 1. Da 1 < 2^ bzw. log2 1 < 0 gilt, ist die Behauptung fiir t = 0 wahr. Induktionsschritt t — 1 \-^ t: Sei die Behauptung bereits fiir alle binaren Baume der Tiefe

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