Analyse numérique et équations différentielles by Demailly Jean-Pierre

By Demailly Jean-Pierre

Cet ouvrage est los angeles quatrième édition d’un livre devenu aujourd’hui un classique sur los angeles théorie des équations différentielles ordinaires. Le cours théorique de base est accompagné d’un exposé détaillé des méthodes numériques qui permettent de résoudre ces équations en pratique. De multiples recommendations de l’analyse numérique sont présentées : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthodes itératives pour los angeles résolution d’équations. go well with un exposé rigoureux des résultats sur l’existence, l’unicité et l. a. régularité des suggestions des équations différentielles, avec étude détaillée des équations du optimal et du moment ordre, des équations et systèmes linéaires à coefficients constants. Enfin, sont décrites les méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec étude comparative de l. a. stabilité et du coût en temps de calcul. De nombreux exemples concrets, des exercices et problèmes d’application en fin de chapitre facilitent l’apprentissage. Plusieurs améliorations ont été apportées dans cette dernière model. De nouveaux problèmes ou exercices ont été introduits dans presque tous les chapitres. l. a. principale nouveauté est que l’ouvrage est maintenant un pap-ebook : le web site compagnon en accès libre suggest au lecteur des compléments théoriques et pratiques, ainsi que l. a. correction d’un grand nombre d’exercices. Cet ouvrage available aux L3, M1 et M2 de mathématiques est très utilisé pour los angeles préparation aux concours de l’enseignement. Il constitue un outil de référence pour les enseignants, chercheurs et scientifiques d’autres disciplines.

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D) Calculer explicitement p2 en fonction de m0 (f ), m1 (f ), m2 (f ) pour la subdivision x0 < x0 < x1 < x1 < x2 < x2 de [a, b] = [−1, 1] de pas constant 25 . 2. On note tn le polynˆ ome de Tchebychev de degr´e n et c un r´eel tel que |c| < 1. (a) Montrer qu’il existe une fonction continue ψ `a valeurs r´eelles, d´efinie sur [0, π] avec ψ(0) = ψ(π) = 0 et v´erifiant eiψ(θ) = 1 − ce−iθ . 1 − ceiθ (b) Pour n ∈ N on note g(θ) = (n + 1)θ + ψ(θ). (α) Soit θ1 = π. Calculer g(θ1 ) − nπ et g(0) − nπ. En d´eduire qu’il existe θ2 v´erifiant 0 < θ2 < θ1 et g(θ2 ) = nπ.

K, |g(xi )| = g et ∀i = 0, 1, . . , k − 1, g(xi+1 ) = −g(xi ). * Montrons que si p ∈ Pn est un polynˆ ome r´ealisant le minimum de la distance f − p , alors g = f − p ´equioscille sur n + 2 points de [a, b]. Si ce n’est pas le cas, soit x0 = inf {x ∈ [a, b] ; |g(x)| = g } le premier point en lequel g atteint sa valeur absolue maximum, puis x1 le premier point > x0 en lequel g(x1 ) = −g(x0 ), . . , xi+1 le premier point > xi en lequel g(xi+1 ) = −g(xi ). Supposons que cette suite s’arrˆete en i = k ≤ n.

Xn (puisque pn interpole f ) et ´egal `a 1 aux points ±iα. En particulier 1−(x2 +α2 )pn (x) est divisible par πn+1 (x) = (x − xj ), le quotient ´etant de degr´e 0 ou 1. Examinons la parit´e de ce quotient. ome pn Comme les points xj sont r´epartis sym´etriquement par rapport a` 0, le polynˆ est toujours pair, tandis que πn+1 est pair si n est impair et vice-versa. Le quotient est un binˆ ome c0 + c1 x, pair si n est impair, impair si n est pair. Par cons´equent 1 − (x2 + α2 )pn (x) = c0 · πn+1 (x) c1 x · πn+1 (x) si n est impair, si n est pair.

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