Analisi Matematica Volume 2 by V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini

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Esercizi 21 e, derivando la funzione z rispetto alla variabile indipendente t, otteniamo y′ (t) y(t) z(t) − ez(t) z(t) − 2 = − z (t) = t t t t ′ =⇒ ez(t) z (t) = − . t ′ Abbiamo così trasformato l’equazione differenziale di partenza in un’equazione differenziale a variabili separabili, siamo quindi in grado di determinare la funzione incognita z(t) e da questa ricavare y(t) = tz(t). L’equazione trovata non ha soluzioni costanti. Dividendo per −ez(t) e integrando otteniamo − e−z dz = dt t ⇐⇒ e−z(t) = ln |t| + C , C∈R Più in generale, per risolvere un’equazione del tipo y′ (t) = f y(t) t si effettua la sostituzione y(t) z(t) = t per ricondursi all’equazione differenziale a variabili separabili f (z) − z .

2 Dunque limx→1− f (x) = s. Applicando la formula di integrazione per serie abbiamo 1 0 ln(1 + x) dx = x = ∞ n=0 ∞ n=0 1 (−1)n 0 (−1)n n+1 xn dx n+1 1 n x dx = 0 ∞ n=0 (−1)n . 9) a pagina 81 che questa serie ha somma π2 /12; in generale non sarà possibile calcolare esattamente il valore della serie ma ottenerne un’approssimazione accurata quanto si desidera sostituendo alla serie la sua somma m-esima con m opportuno. La formula di derivazione termine a termine si può applicare più volte. Infatti la funzione f ′ è ancora una serie di potenze di raggio R e il teorema si può applicare per ottenere l’espressione della serie di potenze derivata di f ′ , cioè f ′′ , che è di nuovo una serie di potenze dello stesso [Maximum remedium irae, mora est] Ad esempio, utilizzando la stima dell’errore del Criterio di Leibniz sappiamo che basta sommare i primi 9 termini della serie per avere una stima della serie con un errore inferiore a 1/100.

2ω 28 Equazioni differenziali da cui ricaviamo a = 1, b = 0 e c = −2. Le soluzioni della prima equazione sono quindi le funzioni x(t) = C1 cos t + C2 sin t + t2 − 2. Il termine noto della seconda equazione è invece del tipo f (t) = Qk (t)eαt sin(βt) con Qk polinomio di grado k = 1, α = 0 e β = 1. Poiché α ± iβ = ±i sono radici del polinomio caratteristico cerchiamo una soluzione particolare del tipo xp (t) = Q1 (t)t sin t + R1 (t)t cos t dove Q1 (t) = at + b ed R1 (t) = ct + d sono polinomi di primo grado da determinare.

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